[题目]问题提出(1)如图①.已知线段AB.请以AB为斜边.在图中画出一个直角三角形,(2)如图②.已知点A是直线l外一点.点B.C均在直线l上.AD⊥l且AD=3.∠BAC=60°.求△ABC面积的最小值,问题解决(3)如图③.某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草.在四边形ABCD中.∠A=45°.∠B=∠D=90°.CB=CD=6m.点E.F分别为AB.AD上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】问题提出

（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；

问题解决

（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，72m2

【解析】

（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果；
（3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值.

解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．

（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，

则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，

设OA=OB=OC=r，

则OE=r，BC=2BE=r，

∵AO+OE≥AD，AD=3，

∴r+r≥3，

解得r≥2，

∴BC=r≥，

∴S△ABC=BC·AD≥××3=，

∴△ABC面积的最小值为．

（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，

则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，

∵CB=CD=6m，

∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，

∴S四边形ABCD

=S△ADM-S△CBM

=DM2-BC2

=×（6+）2-×62

=（36+）m2．

将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，

则A、D、E′三点共线．

∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F

∵S四边形ABCD为定值，

∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．

∵∠E′CF=135°-90°=45°，

∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，

则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，

设△CE′F的外接圆半径为rm，

∴E′F=rm，

又∵OC+OD≥CD，

∴r+r≥6，

∴r≥12-，

当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m，

∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，

∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．

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