Question

17．在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接DC、AB．
（1）求反比例函数；
（2）求证：DC∥AB．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出解析式；
（2）把B坐标代入反比例解析式表示出b，由A与B的坐标表示出C，D，M的坐标，进而表示出DM，MB，AM，MC的长，得出两边对应成比例，且夹角相等，确定出三角形CDM与三角形ABM相似，利用相似三角形对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．

解答 （1）解：∵A（1，4）在函数y=$\frac{m}{x}$图象上，
∴把A坐标代入得：m=4，
则反比例解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）证明：由题意得：B（a，$\frac{4}{a}$），C（1，0），D（0，$\frac{4}{a}$），M（1，$\frac{4}{a}$），
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-$\frac{4}{a}$，MC=$\frac{4}{a}$，
∵$\frac{DM}{MC}$=$\frac{a}{4}$，$\frac{MB}{AM}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$，
∴$\frac{DM}{MC}$=$\frac{MB}{AM}$，
∵∠DMC=∠BMA，
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC，
∴DC∥AB．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．