Question

8．如图，一次函数y=k₁x+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0）交于点P（-1，4），且F是PE的中点．
（1）根据图象直接回答，在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求双曲线和一次函数的解析式；
（3）若x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？

Answer 1

分析 （1）由P的坐标，根据图象即可求得；
（2）把P代入y=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0），根据待定系数法即可求得双曲线的解析式，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；
（3）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为-$\frac{4}{a}$，D点的纵坐标为4，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=k₁x+b与双曲线y=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0）交于点P（-1，4），
由图象可知：当x＜-1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）∵y=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0）经过点P（-1，4），
∴4=-$\frac{{k}_{2}}{-1}$
∴k₂=1×4=4，
∴双曲线为y=-$\frac{4}{x}$，
∵F是PE的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴F（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
（3）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，

∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又∵由题意知A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为-$\frac{4}{a}$，D点的纵坐标为4，
∴得方程-2a+2-$\frac{4}{a}$=2×4，
解得a₁=-2，a₂=-1（舍去）．
∴当a=-2时，PA=PB．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出双曲线和直线l的解析式．