Question

3．如图，点A、B的坐标分别为（-1，1），（3，2），P为x轴上一点，求当BP-AP最大时和当BP+AP最小时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 ①连接AB，则AB与x轴的交点P即为所求的点，用待定系数法求出AB所在直线的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出P点坐标即可；
②作点B关于x轴的对称点B′（3，-2），连接AB′交x轴于P′，则AP′+B′P′=AP′+BP′最小，用待定系数法求出AB所在直线的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出P点坐标即可．

解答 解：①如图1，连接BA交x轴与P，则PB-PA=AB值最大，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
当y=0时，即$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$=0，
∴x=-5，
∴P（-5，0）；
②如图2，作点B关于x轴的对称点B′（3，-2），连接AB′交x轴于P′，则AP′+B′P′=AP′+BP′最小，
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-m+n}\\{-2=3m+n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
当y=0时，即-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$=0，
∴x=$\frac{1}{3}$，
∴P′（$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，是一道综合性题目．