Question

9．已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1．
（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
（4）若平面直角坐标系内存在一点D，使得点A、B、C、D能构成平行四边形，求满足条件的点D的坐标．（无需过程，直接写答案）

Answer 1

分析 （1）分别令各自函数表达式中的x=0，即可求出对应y值，则两直线与y轴交点A、B的坐标可求出；
（2）联立两个一次函数的解析式，解方程组即可求出两直线交点C的坐标；
（3）由（1）可求出AB的长，由（2）可知点C的横坐标绝对值即为边AB上的高，由三角形面积公式计算即可；
（4）点D的位置不确定，要分两种情况分别讨论，一是当AB、CD为平行四边形的对角线时；二是当BC、AD为平行四边形的对角线时，再利用平行四边形的性质求出点D的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=2x+3，
∴当x=0，y=3，
即点A的坐标为（0，3），
同理可求得点B的坐标是（0，-1）；
（2）联立两个一次函数的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-2x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标是（-1.1）；
（3）∵点A（0，3），点B（0，-1），
∴AB=4，
∵点C的横坐标绝对值=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×1=2；
（4）①当AB、CD为平行四边形的对角线时，
∵点A（0，3），点B（0，-1），
∴线段AB的中点坐标是（0，1），
∵点C的坐标是（-1，1），
设点D的坐标为（x，y），
∴0=$\frac{x-1}{2}$，
解得：x=1，
同理可得y=1，
∴点D的坐标为（1，1）；
②当BC、AD为平行四边形的对角线时，由①可知点D的坐标为（-1，-1）．

点评 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，其中牵扯到的知识点有平行四边形的性质、三角形面积公式的运用以及两条直线相交的问题，熟悉函数图象上点的坐标特征是解题的关键．