Question

6．如图，已知平行四边形ABCD的面积等于12，AB=6，点P是AB上一点，PQ∥AD交BD于点Q，当AP：BP=1：5时，四边形PBCQ的面积是$\frac{55}{6}$．

Answer 1

分析 由平行四边形ABCD的面积等于12，得到S_△ABD=S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}=6，根据PQ∥AD，求得△BPQ∽△ABD，DQ：BQ=AP：BP=1：5根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△PBQ}}{{S}_{△ABD}}$=（$\frac{PB}{AB}$）²，求得S_△PBQ=$\frac{5}{6}$×6=5，根据平行线分线段成比例得到BQ：BD=5：6，求得S_△BCQ=$\frac{5}{6}$S_△BCD=5，即可得到结论．

解答 解：∵平行四边形ABCD的面积等于12，
∴S_△ABD=S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}=6，
∵PQ∥AD，
∴△BPQ∽△ABD，DQ：BQ=AP：BP=1：5
∴$\frac{{S}_{△PBQ}}{{S}_{△ABD}}$=（$\frac{PB}{AB}$）²，
∵AP：BP=1：5，
∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
过D作DE⊥AB于E，QF⊥PB于F，∵AB=6，
∴DE=2，AP=1，PB=5，
∴QF=$\frac{5}{3}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×5=$\frac{25}{6}$，
∵PQ∥AD，
∴DQ：BQ=AP：BP=1：5，
∴BQ：BD=5：6，
∴S_△BCQ=$\frac{5}{6}$S_△BCD=5，
∴四边形PBCQ的面积=S_△PBQ+S_△BCQ=$\frac{55}{6}$，
故答案为：$\frac{55}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．