Question

10．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）结合图象直接写出不等式-x+4＞$\frac{k}{x}$的解集
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）依据点A为直线和曲线的交点，代入函数解析式即可得出结论，同时联立方程组即可求得B点的坐标；
（2）图象在上面的y值大，联系函数解析式即可直接得出不等式的解集；
（3）找B点关于x轴的对称点C，连接AC与x轴交于P点，此点即使所求之点，依据两点之间线段最短．

解答 解：（1）∵点A（1，a）是一次函数y=-x+4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+4}\\{a=k}\end{array}\right.$，
解得：a=k=3，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{k}{x}$=$\frac{3}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得：A（1，3），B（3，1），
故反比例函数的表达式y=$\frac{k}{x}$=$\frac{3}{x}$（x≠0），B点坐标为（3，1）．
（2）有图象知，当1＜x＜3时，直线图象在曲线的上方，
故不等式-x+4＞$\frac{k}{x}$的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）找B点关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于P点，如图

由（2）可知C点坐标为（3，-1），
∵PC=PB，PB，PC同线，所以此时PA=PB最短，
设直线AC方程为y=bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3=b+c}\\{-1=3b+c}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=5，
故直线AC方程为y=-2x+5，将y=0代入其中得：x=2.5，
故得出P点坐标为（2.5，0），
又∵A（1，3），B（3，1），
∴△PAB的面积为$\frac{1}{2}$×（3+1）×（3-1）-$\frac{1}{2}$×（3-0）×（2.5-1）-$\frac{1}{2}$（1-0）（3-2.5）=1.5，
满足条件的P点坐标为（2.5，0），此时△PAB的面积面积为1.5．

点评 本题考查的曲线与直线交点的问题，解题关键在于点的坐标的灵活运用．