Question

如图，已知PH是Rt△ABC斜边AC上的垂直平分线，垂足为点H，并交直角边AB于点P，D是PH上一点，且AD是AP与AB的比例中项．求证：
（1）AP•AB=AH•AC； 
（2）△ACD是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得∠AHD=90°，CD=AD，根据两组角对应相等的两个三角形相似易得△APH∽△ACB，则

AP

AC

=

AH

AB

，然后利用比例的性质即可得到结论；
（2）由AD是AP与AB的比例中项得AD²=AP•AB，加上（1）的结论可得AH•AC=AD²，写成比例式为

AD

AC

=

AH

AD

，加上∠DAH=∠CAD，于是根据相似三角形的判定得到可得△ADH∽△ACD，所以∠ADC=∠AHD=90°，由于CD=AD，于是可判断△ACD是等腰直角三角形．

解答：证明：（1）∵PH是AC的垂直平分线，
∴∠AHD=90°，CD=AD，
∴∠PHA=∠B=90°，
∵∠PAH=∠BAC，
而∠PAH=∠CAB，
∴△APH∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AH

AB

，
∴AH•AC=AP•AB；
（2）∵AD是AP与AB的比例中项，
∴AD²=AP•AB，
∴AH•AC=AD²，
∴

AD

AC

=

AH

AD

，
∵∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴∠ADC=∠AHD=90°，
∵CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：灵活运用三角形相似的判定定理；理解比例中项的定义和线段垂直平分线的性质；掌握等腰直角三角形的判定方法．