【题目】如图,抛物线l:y=﹣x2+bx+c(b,c为常数),其顶点E在正方形ABCD内或边上,已知点A(1,2),B(1,1),C(2,1).
(1)直接写出点D的坐标_____________;
(2)若l经过点B,C,求l的解析式;
(3)设l与x轴交于点M,N,当l的顶点E与点D重合时,求线段MN的值;当顶点E在正方形ABCD内或边上时,直接写出线段MN的取值范围;
(4)若l经过正方形ABCD的两个顶点,直接写出所有符合条件的c的值.
【答案】(1)D点的坐标为(2,2);(2)y=﹣x2+3x﹣1;(3)2≤MN≤;(4)所有符合条件的c的值为﹣1,1,﹣2.
【解析】试题分析:(1)根据正方形的性质,可得D点的坐标;
(2)根据待定系数法,可得函数解析式;
(3)根据顶点横坐标纵坐标越大,与x轴交点的线段越长,根据顶点横坐标纵坐标越小,与x轴交点的线段越短,可得答案;
(4)根据待定系数法,可得c的值,要分类讨论,以防遗漏.
试题解析:解:(1)由正方形ABCD内或边上,已知点A(1,2),B(1,1),C(2,1),得D点的横坐标等于C点的横坐标,即D点的横坐标为2,D点的纵坐标等于A点的纵坐标,即D点的纵坐标为2,D点的坐标为(2,2);
(2)把B(1,1)、C(2,1)代入解析式可得:,解得:
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1;
(3)由此时顶点E的坐标为(2,2),得:抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+2
把y=0代入得:﹣(x﹣2)2+2=0
解得:x1=2﹣,x2=2+,即N(2+,0),M(2﹣,0),所以MN=2+﹣(2﹣)=2.
点E的坐标为B(1,1),得:抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+1
把y=0代入得:﹣(x﹣1)2+1=0
解得:x1=0,x2=2,即N(2,0),M(0,0),所以MN=2﹣0=2.
点E在线段AD上时,MN最大,点E在线段BC上时,MN最小;
当顶点E在正方形ABCD内或边上时,2≤MN≤2;
(4)当l经过点B,C时,二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣1,c=﹣1;
当l经过点A、D时,E点不在正方形ABCD内或边上,故排除;
当l经过点B、D时,,解得:,即c=﹣2;
当l经过点A、C时,,解得,即c=1;
综上所述:l经过正方形ABCD的两个顶点,所有符合条件的c的值为﹣1,1,﹣2.
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【题目】将九个数填在3×3(3行3列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,这样的图称为“广义的三阶幻方”,如图1就是一个满足条件的广义三阶幻方.图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数.请直接将图2、图3的其余6个数全填上;
(提示:三阶幻方的幻和=中心数字×3)
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校准备组织师生共60人,从甲地乘动车前往乙地参加夏令营活动,动车票价格如表所示:(教师按成人票价购买,学生按学生票价购买).
若师生均购买二等座票,则共需1020元.
(1)参加活动的教师和学生各有多少人?
(2)由于部分教师需提早前往做准备工作,这部分教师均购买一等座票,后续前往的教师和学生均购买二等座票.设提早前往的教师有x人,购买一、二等座票全部费用为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②若购买一、二等座票全部费用不多于1030元,则提早前往的教师最多只能多少人?
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,点D为边BC上的点,连接AD,∠BAD=α,点D关于AB的对称点为E,点E关于AC的对称点为G,线段EG交AB于点F,连接AE,DE,DG,AG.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠AGE的度数(用含α的式子表示);
(3)用等式表示线段EG与EF,AF之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价400元,领带每条定价50元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:
方案①:买一套西装送一条领带;
方案②:西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该服装厂购买西装20套,领带x条(x>20)
(1)若该客户按方案①购买,需付款 元(用含x的代数式表示);
若该客户按方案②购买,需付款 元(用含x的代数式表示);
(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?
(3)若两种优惠方案可同时使用,当x=30时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法并计算出此种方案的付款金额.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明).
(1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF,则上面的结论①、②是否仍然成立;(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图③,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图④,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种,并写出证明过程.
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