Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF垂直DE于点O，
（1）证明：点F是BC的中点；
（2）求OA：OF的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，从而得证；
（2）设正方形的边长为2a，利用勾股定理列式求出DE，再利用三角形的面积列式求出AO，然后表示出OF，再相比即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠1+∠3=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABF和△DAE中，

∠1=∠2 AB=AD ∠DAE=∠B=90°

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE，
∵E为AB的中点，
∴AE=

1

2

AB，
∴BF=

1

2

BC，
∴点F是BC的中点；

（2）解：设正方形的边长为2a，
则AE=

1

2

AB=a，
由勾股定理得，DE=

AD2+AE2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
S_△ADE=

1

2

×2a×a=

1

2

×

5

a•OA，
解得OA=

2 5

5

a，
∴OF=AF-OA=

5

a-

2 5

5

a=

3 5

5

a，
∴OA：OF=

2 5

5

a：

3 5

5

a=2：3．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）设正方形的边长然后分别表示出OA、OF计算更简便．