Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线顶点N的坐标为（），此抛物线交y轴于B（0，-4），交x轴于A、C两点且A点在C点左边．
（1）求抛物线解析式及A、C两点的坐标．
（2）如果点M为第三象限内抛物线上一个动点且它的横坐标为m，设△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置使得以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线交y轴于B（0，-4）
∴，
∴
∴抛物线解析式为：
或
令y=0得：，
解得：x₁=-4，x₂=2
∴A（-4，0），C（2，0）；

（2）作MT⊥x轴于T，设M（m，n），
则AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴S_AMBO=
∵M（m，n）在抛物线上，
∴
∴S_AMBO=
∵S_△AOB=，
∴S与m的函数关系式为：S=-m²-4m
∵S为m的二次函数且-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴S的最大值为；

（3）因为点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，
所以相应的点Q的坐标为：有两个位置满足条件，此时点Q的坐标为（4，4），（-4，-4）．
分析：（1）先设出抛物线解析式，根据题意抛物线交y轴于B（0，-4），求出抛物线解析式，再根据抛物线的特点求出它的横坐标，即可求出A和C的坐标；
（2）先作MT⊥x轴于T，再设M（m，n），得出AT、MT、TO、BO的值，即可得出S_AMBO的值，再根M点在抛物线上，求出S_AMBO的值，然后求出S与m的函数关系式，得出抛物线开口向下，即可求出S的最大值；
（3）根据（2）的相应的条件，可以直接得出点此时Q的坐标；
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．