Question

22、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）试指出图中与AF相等的线段，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形，在本题中，因为三角形ABC为等边三角形，AD、AE分别为CA、BA的延长线且AE=AD，所以三角形ADE也为等边三角形，可知EF和BC平行，又EC=EF，所以三角形ECF也为等边三角形，即CF和BD平行，来证明两组对边分别平行；
（2）从图象观察，AF在三角形ADF中，而和ADF形状相同的是三角形ABE，所以，可试着证明两三角形全等．

解答：证明：（1）∵△ABC为等腰三角形，且AE=AD∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAB=60°
∴EF∥BC，又∵EC=EF，∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°∴CF∥BD
∴四边形BCFD为平行四边形．
（2）AF=EB．
在△AED中，∵AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAE=120°，∠EDA=60°，
∴∠ADF=120°．
即∠EAB=∠ADF又由（1）知DF=BC=BA，
∴△ADF≌△EAB．
∴AF=EB．

点评：本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是找准题目中的已知条件，利用平行四边形的定义进行解题．另外此题还考查了全等的应用．