[题目]在矩形 ABCD 中.点 P 在 AD 上.AB= .AP=1．将直角尺的顶点放在 P 处.直角尺的两边分别交 AB.BC 于点 E.F.连接 EF(如图 1)．当点 E 与点 B 重合时.点 F 恰好与点 C 重合(如图 2).将直角尺从图 2 中的位置开始.绕点 P 顺时针旋转.当点 E 和点 A 重合时停止．在这个过程中.从开始到停止.线段 EF 的中点所� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB= ，AP=1．将直角尺的顶点放在 P 处，直角尺的两边分别交 AB、BC 于点 E、F，连接 EF（如图 1）．当点 E 与点 B 重合时，点 F 恰好与点 C 重合（如图 2）.将直角尺从图 2 中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 和点 A 重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路径长为__________ ．

【答案】

【解析】

设线段EF的中点为O,连接OP,OB,利用直角三角形斜边上的中线性质得

OP=OB=EF,则利用线段垂直平分线定理2的逆定理可得O点在线段BP的垂直平分线上,再确定旋转开始和停止时EF的中点位置,然后根据三角形中位线性质确定线段EF的中点所经过的路径(线段)长

解：如图：

设线段EF的中点为O,连接OP,OB,如图,

在Rt△EPF中,OP=EF,

在Rt△EBF中,OB=EF

OP=OB,

O点在线段BP的垂直平分线上,

如图,当点E与点B重合时,点F与点C重合时,EF的中点为BC的中点O,

当点E与点,A重合时,EF的中点为PB的中点O,

OO'为△PBC的中位线,

OO'=PC=,

.线段EF的中点经过的路线长为.

故答案为.

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路线1：高线底面直径，如图所示，设长度为．

路线2：侧面展开图中的线段，如图所示，设长度为．

请按照小明的思路补充下面解题过程：

（1）解：

；

（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）

①此时，路线1：__________．路线2：_____________．

②所以选择哪条路线较短？试说明理由．

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