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【题目】如图,ABC内接于O,CD平分ACB交O于D,过点D作PQAB分别交CA、CB延长线于P、Q,连接BD.

(1)求证:PQ是O的切线;

(2)求证:BD2=ACBQ;

(3)若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根,且tanPCD=,求O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据平行线的性质和圆周角定理得到ABD=BDQ=ACD,连接OB,OD,交AB于E,根据圆周角定理得到OBD=ODB,O=2DCB=2BDQ,根据三角形的内角和得到2ODB+2O=180°,于是得到ODB+O=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)证明:连接AD,根据等腰三角形的判定得到AD=BD,根据相似三角形的性质即可得到结论;

(3)根据题意得到ACBQ=4,得到BD=2,由(1)知PQ是O的切线,由切线的性质得到ODPQ,根据平行线的性质得到ODAB,根据三角函数的定义得到BE=3DE,根据勾股定理得到BE的长,设OB=OD=R,根据勾股定理即可得到结论.

试题解析:(1)证明:PQAB,∴∠ABD=BDQ=ACD,∵∠ACD=BCD,∴∠BDQ=ACD,如图1,连接OB,OD,交AB于E,则OBD=ODB,O=2DCB=2BDQ,在OBD中,OBD+ODB+O=180°,2ODB+2O=180°,∴∠ODB+O=90°,PQ是O的切线;

(2)证明:如图2,连接AD,由(1)知PQ是O的切线,∴∠BDQ=DCB=ACD=BCD=BAD,AD=BD,∵∠DBQ=ACD,∴△BDQ∽△ACD,BD2=ACBQ;

(3)解:方程可化为x2﹣mx+4=0,AC、BQ的长是关于x的方程的两实根,ACBQ=4,由(2)得BD2=ACBQ,BD2=4,BD=2,由(1)知PQ是O的切线,ODPQ,PQAB,ODAB,由(1)得PCD=ABD,tanPCD=tanABD=BE=3DE,DE2+(3DE)2=BD2=4,DE=BE=,设OB=OD=R,OE=R﹣OB2=OE2+BE2R2=(R﹣2+2,解得:R=∴⊙O的半径为

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