Question

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于点A和点B，已知点A的坐标为（1，0），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；
（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t＞3），且DE：EF=2：1，求点D的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求证：∠DPE=∠BDE．

Answer 1

分析 （1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于b、c的方程组，解得b、c的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．先求得点B的坐标，由点B和点P的坐标可知△PBG为等腰直角三角形，从而可证明△BEF为等腰直角三角形，设点D的坐标为（t，t²-4t+3），然后求得EF，DF的长（用含t的式子表示），最后根据PF与EF的数量关系列出关于t的一元二次方程，从而可求得t的值；
（3）先求得DE，BE，PE的长，接下来再证明DE²=BE•PE，从而可得到EBD∽△EDP，最后依据相似三角形的性质可求得∠DPE=∠BDE．

解答 解：（1）∵将A（1，0）、C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-4，c=3．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴点P的坐标为（2，-1）．
（2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．

∵令y=0得：x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴B（3，0）．
又∵P（2，-1），
∴PG=BG=1．
∴∠GBP=45°．
∴∠EBF=45°．
又∵∠EFB=90°，
∴∠EBF=∠FEB=45°．
∴BF=EF．
设D（t，t²-4t+3），则DF=t²-4t+3，则BF=T-3．
∵DE：EF=2：1，
∴DF=3EF=3（t-3）．
∴t²-4t+3=3（t-3）．
解得：t₁=4，t₂=3（舍去）．
∴D（4，3）．
（3）∵t=4，
∴EF=BF=4-3=1．
∴点E的坐标为（4，1）．
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，ED=DF-EF=3-1=2，PE=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴DE²=2²=4，BE•PE=$\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．
∴DE²=BE•PE．
又∵∠DEB=∠PED，
∴△EBD∽△EDP．
∴∠DPE=∠BDE．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、一元二次方程的解法、勾股定理以及相似三角形的性质和判定，证得DE²=BE•PE从而得到△EBD∽△EDP是解题的关键．