Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径， OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）tan∠DBC=．

【解析】

（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴OD⊥AC，

∴=，

∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，

∴OA=OD=AB=5，

∵OD∥BC，

∴∠AOE=∠ABC，

在Rt△AEO中，OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×=3，

∴DE=OD=OE=5﹣3=2，

∴AE===4，

在Rt△AED中，tan∠DAE===，

∵∠DBC=∠DAE，

∴tan∠DBC=．