Question

18．如图，抛物线y=x²-2x-3与坐标轴交于A、B、C三点，过y轴上一点M作BC的平行线交抛物线于G、H（G左H右），若点M在y轴上运动，试判断HM-CM的值是否发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 作HE⊥y轴于E，GF⊥y轴于F，如图，先解方程x²-2x-3=0得到A（-1，0），B（3，0），计算自变量为0时的函数值得到C（0，-3），则△OBC为等腰直角三角形，再利用GH∥BC判断△GMF和△EMH都为等腰直角三角形，所以HM=$\sqrt{2}$HE，GM=$\sqrt{2}$GF，则HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF），易得直线BC的解析式为y=x-3，可设直线GH的解析式为y=x+k，利用二次函数图象与直线的交点问题，若设H、G点的横坐标分别为a、b，则a、b为方程x²-2x-3=x+k的两根，根据根与系数的关系得到a+b=3，而HE=a，GF=-b，HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF）=$\sqrt{2}$（a+b）=3$\sqrt{2}$，即HM-GM的值不发生变化．

解答 解：HM-GM的值不发生变化．
作HE⊥y轴于E，GF⊥y轴于F，如图，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
∵OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°
∵GH∥BC，
∴∠GMF=∠EMH=45°，
∴△GMF和△EMH都为等腰直角三角形，
∴HM=$\sqrt{2}$HE，GM=$\sqrt{2}$GF，
∴HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF），
易得直线BC的解析式为y=x-3，由于GH∥BC，则可设直线GH的解析式为y=x+k，
设H、G点的横坐标分别为a、b，则a、b为方程x²-2x-3=x+k的两根，
方程整理为x²-3x-3-k=0，
∴a+b=3，
∵HE=a，GF=-b，
∴HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF）=$\sqrt{2}$（a+b）=3$\sqrt{2}$，
即HM-GM的值不发生变化．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键把HM-GM的值转化为点H与点G的横坐标和的$\sqrt{2}$倍．