Question

【题目】已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP=1，连接BP，CP

（1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长；

（2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长；

（3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连接AB′，求AB′的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PC=3；（2）或；（3）4+．

【解析】

如图1中，连接CD．D是AB的中点,可求出CD，再根据勾股定理求出PC；

当△BPC是等腰三角形时，分三种情形讨论；

推出点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大，推出可得AB′的最大值为.

（1）如图1中，连接CD．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=，

∵AD=DB，

∴CD=AB=,CD⊥AB，

在中，

（2）如图2中，

∴点P在以点D为圆心的⊙D上．

①当PB=PC时，

∵CD=DB，

∴P、D都在线段BC的垂直平分线上，设直线DP交BC于E．

∴∠PEC=90°，BE=CE=2，

∵∠CDB=90°，

∴DE=BC=CE=2，

在中，

当P在线段PD上时，PE=DE﹣DP=1，

当P在线段ED的延长线上时，PE=ED+DP=3，

②当PC=BC时，

∴PC≠BC，此种情形不存在；

③当PB=BC时，同理这种情形不存在；

如图3中

（3）如图4中，连接BB′．

由旋转可知：PB=PB′，∠BPB′=90°，

∴∠PBB′=45°，

∴BB′=PB，

∴

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠PBB′，

∴∠ABB′=∠CBP，

∵

∴

∴

∴△ABB′∽△CBP，

∴

∴点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大，

∴AB′的最大值为4+.