Question

14．直线经过点（2，1），与两坐标轴的正半轴相交，求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值．

Answer 1

分析 设出直线与x轴的交点坐标和与y轴交点坐标，表示出三角形的周长，根据（a-b）²≥0，a²+b²≥2ab，确定周长取最小值时a与b的关系，求出周长的最小值．

解答 解：设直线与x轴的交点A为（a，0），与y轴交点B为（0，b），
则△AOB的周长为：a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
根据（a-b）²≥0，a²+b²≥2ab，
所以当a=b时，周长有最小值，
因为直线经过点（2，1），
a=b=3
周长的最小值为2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=6+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是根据完全平方的非负性，确定周长取最小值时a与b的关系，进行解答．