Question

19．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=16cm，CD=10cm，高为9cm．
（1）若A、B、C、D四点在同一圆上吗？为什么？
（2）若在同一圆上，求此圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形的性质得出∠A+∠C=180°，即可得出A、B、C、D四点在同一圆上；
（2）作CD的垂直平分线EF，垂足为M，连接OC、OB，则EF一定经过圆心O，EF⊥AB，MN=9cm，由垂径定理得出CM、BM的长，设OM=xcm，则ON=（9-x）cm，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，再根据勾股定理求出OC即可．

解答 解：（1）A、B、C、D四点在同一圆上；理由如下：
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠C=180°，
∴A、B、C、D四点在同一圆上；
（2）如图所示：作CD的垂直平分线EF，垂足为M，连接OC、OB，
则EF一定经过圆心O，EF⊥AB，MN=9cm，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=5cm，BN=AN=$\frac{1}{2}$AB=8cm，
设OM=xcm，则ON=（9-x）cm，
根据勾股定理得：OC²=OM²+CM²，OB²=ON²+BM²，OC=OB，
∴x²+5²=（9-x）²-8²，
解得：x=$\frac{20}{3}$，
∴OC=$\sqrt{（\frac{20}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{25}{3}$（cm），
即此圆的半径为$\frac{25}{3}$cm．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、四点共圆、垂径定理、勾股定理等知识；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线，运用勾股定理得出方程才能求解．