【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线相交于A(1,),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.
【答案】(1);(2)D(1,0)或(0,)或(0,);(3),M(,).
【解析】
试题分析:(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;
(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN,可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.
试题解析:
(1)∵A(1,),B(4,0)在抛物线的图象上,∴,解得,∴抛物线解析式为;
(2)存在三个点满足题意,理由如下:
①当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,∵A(1,),∴D坐标为(1,0);
②当点D在y轴上时,设D(0,d),则,,且,∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,∴
,即,解得d=,∴D点坐标为(0,)或(0,);
综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0,)或(0,);
(3)如图2,过P作PF⊥CM于点F,∵PM∥OA,∴Rt△ADO∽Rt△MFP,∴=,∴MF=PF,在Rt△ABD中,BD=3,AD=,∴tan∠ABD=,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=a,在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan∠PNF=,∴FN=PF,∴MN=MF+FN=PF,∵S△BCN=2S△PMN,∴,∴a=PF,∴NC=a=PF,∴==,∴MN=NC==a,∴MC=MN+NC=()a,∴M点坐标为(4﹣a,()a),又M点在抛物线上,代入可得=()a,解得a=或a=0(舍去),OC=4﹣a=,MC=,∴点M的坐标为(,).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)在y轴上找出一点P,使得PA+PB的值最小,直接写出点P的坐标;
(3)在平面直角坐标系中,找出一点A2 , 使△A2BC与△ABC关于直线BC对称,直接写出点A2的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个,其中红球2个、黑球3个、白球1个(I)从中任取1个球, 求取得红球或黑球的概率;
(II)列出一次任取2个球的所有基本事件;
(III)从中取3个球,求至少有一个红球的概率。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2007年某校初中三个年级在校学生共796名,学生的出生月份统计如下,根据图中数据回答以下问题:
(1)出生人数少于60人的月份有哪些?
(2)至少有两个人生日在10月5日是不可能事件,还是可能事件,还是必然事件?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com