Question

【题目】已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．

（1）求证：点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连结OM，如图，

∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，

∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，

∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，

而∠2=∠B，

∴∠1=∠C，

∴PC=PM，

∴PA=PC，

∴点P是线段AC的中点；

（2）

解：由（1）∠PMC=∠C，

在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，

∴BC= =5，

∴sin∠C= = ，

即sin∠PMC= ．

【解析】（1）连结OM，根据切线的性质得OM⊥MP，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC；（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到sin∠C= = ，于是得到sin∠PMC的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．