Question

在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是E、F．
求证：DP=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：连接PB，根据正方形的性质可得∠DCB=90°，∠DCP=∠PCB=45°，DC=BC，然后求出四边形PECF是矩形，根据矩形的对角线相等可得PB=EF，再利用“边角边”证明△DPC和△BPC全等，根据全等三角形对应边相等可得DP=PB，从而得出DP=EF．

解答： 解：连接PB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=90°，∠DCP=∠PCB=45°，DC=BC，
又∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEC=90°，∠PFB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴BP=EF，
在△DPC和△BPC中，

DC=BC ∠DCP=∠PCB PC=PC

，
∴△DPC≌△BPC（SAS），
∴DP=PB，
∴DP=EF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．