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【题目】(1)发现:

如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b

填空:当点A位于     时,线段AC的长取得最大值,且最大值为     (用含ab的式子表示)

(2)应用:

A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以ABAC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CDBE

①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;

②直接写出线段BE长的最大值.

(3)拓展:

如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

【答案】(1) CB的延长线上,a+b(2)CD=BE,理由见解析;4;(32+3P2﹣).

【解析】试题分析:(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2根据等边三角形的性质得到AD=ABAC=AEBAD=CAE=60°,推出CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将APM绕着点P顺时针旋转90°得到PBN,连接AN,得到APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+3;过PPEx轴于E,根据等腰直角三角形的性质,即可得到结论.

试题解析:(1A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b

当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b

2①CD=BE

理由:∵△ABD△ACE是等边三角形,

∴AD=ABAC=AE∠BAD=∠CAE=60°

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC

∠CAD=∠EAB

△CAD△EAB中,

∴△CAD≌△EABSAS),

∴CD=BE

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,

由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点DCB的延长线上,

最大值为BD+BC=AB+BC=4

3)如图1,连接BM

△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,

∴PN=PA=2BN=AM

∵A的坐标为(20),点B的坐标为(50),

∴OA=2OB=5

∴AB=3

线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,

N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,

最大值=AB+AN

AN=AP=2

最大值为2+3

如图2,过PPE⊥x轴于E

∵△APN是等腰直角三角形,

PE=AE=

OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣

P2﹣).

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