Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CD，CE分别是斜边AB上的中线和高线．求：
（1）AE：ED：DB．
（2）△CDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高，AB=5，BC=12，根据勾股定理可得AB的长，根据三角形的面积公式可求CE的长，在Rt△ACE中，根据勾股定理可得AE的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求BD，AD的长，从而可得DE的长，进一步即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可求得△CDE的面积．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，
∵CE是斜边AB上的高线，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
解得CE=$\frac{60}{13}$，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{25}{13}$，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴BD=AD=$\frac{13}{2}$，
∴DE=AB-AE-BD=$\frac{119}{26}$，
∴AE：ED：DB=$\frac{25}{13}$：$\frac{119}{26}$：$\frac{13}{2}$=50：119：169．
（2）△CDE的面积=$\frac{1}{2}$DE•CE=$\frac{714}{169}$．
故△CDE的面积是$\frac{714}{169}$．

点评 此题考查的知识点是勾股定理和直角三角形斜边上的中线．解题的关键是运用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质解答．