Question

9．已知在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG内接于△ABC（D、E、F、G都在△ABC的三边上），则正方形DEFG的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{120}{37}$．

Answer 1

分析 应分两种情况进行讨论，作BC边上的高AK和作AB边上高CH进行分析解答，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）如图1，作BC边上的高AK，交GF于M．

AK=$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
设正方形边长为x，
因为FG∥BC，所以△AGF∽△ABC，
所以GF：BC=AM：AK，
所以x：12=（8-x）：8，
所以x=$\frac{24}{5}$，
即正方形边长为$\frac{24}{5}$；
（2）如图2，作AB边上高CH，交EF于N，

AB•CH=BC•AK，即：10×CH=12×8
所以CH=$\frac{24}{5}$，
因为FEF∥AB，
所以△CEF∽△ABC，
所以x：10=（$\frac{24}{5}$-x）：$\frac{24}{5}$，
所以x=$\frac{120}{37}$，
即正方形边长为$\frac{120}{37}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$；$\frac{120}{37}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的运用，对一道题的分析应考虑全面，不能漏解．