Question

19．已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
（1）求证：△ACF是等腰三角形；
（2）若CD=16cm，AD=8cm，求△ACF的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠得到一对角相等，再利用两直线平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到AF=CF，得证；
（2）设DF=xcm，可得出AF=FC=（16-x）cm，在直角三角形ADF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FC的长，即可求出三角形ACF面积．

解答 （1）证明：∵将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，
∴∠EAC=∠BAC，
∵长方形ABCD，即DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF，
则△ACF为等腰三角形；
（2）解：设DF=xcm，则AF=CF=CD-DF=（16-x）cm，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AF²=AD²+DF²，
即（16-x）²=8²+x²，
解得：x=6，
∴CF=16-6=10cm，
则S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AD=40cm²．

点评 此题考查了折叠变换，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．