Question

11．如图是一块学生用直角三角板，其中∠A′=30°，三角板的边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将直径为4cm的⊙O移向三角板，三角板的内△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2），则边B′C′的长为3+$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可计算出MN=AM+AC+CN=3+2$\sqrt{3}$，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N=$\frac{1}{\sqrt{3}}$NM=$\sqrt{3}$+2，则B′C′=B′N+NC′=$\sqrt{3}$+3．

解答 解：设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，
∵内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等，
∴∠AMH=30°，AH=1，
AM=2AH=2，
∴MN=AM+AC+CN=3+2$\sqrt{3}$，
在Rt△MB′N中，
∵∠B′MN=30°，
∴B′N=$\frac{1}{\sqrt{3}}$NM=$\sqrt{3}$+2，
∴B′C′=B′N+NC′=$\sqrt{3}$+3，
故答案为：3+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，含30°直角三角形的性质，以及平行线的性质，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．