Question

4．如图，AD是△ABC的角平分线，点E为AD边上一点，且∠BEC=2∠BAC=120°．若BE=2CE，AE=2$\sqrt{3}$，则BC的长为7．

Answer 1

分析 过E作MN⊥AD，交AB、AC分别于点M、N，易证△AMN是等边三角形，证明△BME∽△ENC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得BM、CN的长，作CG⊥AB于点G，在直角△BCG中，利用勾股定理求解．

解答 解：过E作MN⊥AD，交AB、AC分别于点M、N．
∵AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴在△AEM和△AEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠DAC}\\{AE=AE}\\{∠AEM=∠AEN}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△AEN．
∴AM=AN，
又∵∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形．
∴ME=EN=AE•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∵∠ANE=∠NEC+∠NCE=60°，∠1+∠NEC=180°-∠BEC=60°，
∴∠1=∠NCE，
∴△BME∽△ENC，
∴$\frac{ME}{NC}$=$\frac{BM}{EN}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{2}{1}$，
∴BM=4，CN=1．
∵AM=AN=4，
∴BM=4，CN=1．
∵AM=AN=4，
∴AB=8，AC=5．
作CG⊥AB于点G．
则CG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，BG=$\frac{11}{2}$．
∴BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}$=7．
故答案是：7．

点评 本题考查了相似三角新的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解决本题的关键．