Question

10．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴 于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥y轴于D，如图1，易得OA=3，OB=1根据等腰直角三角形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH=∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB=CH=1，OA=BH=3，所以C（-1，4）；
（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD，得到OB=CD，OA=BD，易得OA=CD+OD；
（3）如图3，CF和AB的延长线相交于点D，先证明△ABE≌△CBD得到AE=CD，再利用对称性质得CF=DF，所以CF=$\frac{1}{2}$AE．

解答 解：（1）作CH⊥y轴于D，如图1，
∵点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
在△ABO和△BCH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=1，OA=BH=3，
∴OH=OB+BH=1+3=4，
∴C（-1，4）；
（2）OA=CD+OD．理由如下：如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB=CD，OA=BD，
而BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；
（3）CF=$\frac{1}{2}$AE．理由如下：
如图3，CF和AB的延长线相交于点D，
∴∠CBD=90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D=90°，
而∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形．