Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m的顶点为P，点A（m，0）在x轴正半轴上，点C（0，6-m）在y轴正半轴上，以OA、OC为边作矩形OABC．
（1）点P的坐标为（2，m）（用含m的代数式表示）；
（2）当点P在BC边上时，求对应的抛物线的函数关系式；
（3）点B是否会落在抛物线的下方，请说明理由；
（4）直接写出矩形OABC的各边与抛物线共有2个公共点时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据P在BC上，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据自变量的值，可得相应的函数值；根据线段的和差，可得答案；
（4）根据图象与抛物线的交点大于一个小于三个时，可得不等式组，根据抛物线过点B、C，可得m点的在范围．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+m，
顶点P的坐标为（2，m），
故答案为：（2，m）；
（2）点P在BC边上时，y_P=y_C，m=6-m，解得m=3，
对应的抛物线的函数关系式y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+1；
（3）如图1，
设直线AB与抛物线的交点为D，
当x=m时，y_D=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=-$\frac{1}{2}$m²+3m-2，
y_B-y_D=（6-m）-（-$\frac{1}{2}$m²+3m-2）=$\frac{1}{2}$m²-4m+8=$\frac{1}{2}$（m-4）²≥0，
点B不会落在抛物线的下方；
（4）
当点A在抛物线上时，如图2，
-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=0，解得m₁=3-$\sqrt{5}$，m₂=3+$\sqrt{5}$（不符合题意，舍），
当m=3-$\sqrt{5}$时，抛物线与矩形OABC的各边恰好有一个交点．
当点P落在BC上时，如图3，
m=3，抛物线与矩形OABC的各边恰好有三个交点．
当3-$\sqrt{5}$＜m＜3时，矩形OABC的各边与抛物线恰好有两个交点．
②当点B在抛物线上时，如图4，
y_C-y_B=0，6-m=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m，
解得m=4，此时矩形OABC的各边与抛物线恰好有两个交点．
∵点C（0，6-m）在y轴的正半轴上，
∴当4≤m＜6时，矩形OABC的各边与抛物线恰好有两个交点．
综上所述：矩形OABC的各边与抛物线共有2个公共点时m的取值范围是3-$\sqrt{5}$＜m＜3，4≤m＜6．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法求函数顶点坐标；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出m的值是解题关键；利用图象与矩形交点的个数得出不等式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．