Question

如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE=CN+EN．

Answer 1

分析：延长CN至F，使CF=AE，连接BF，证△CAE≌△BCF，推出AE=CF，证△EBN≌△FBN，推出NE=NF即可．

解答：证明：延长CN至F，使CF=AE，连接BF，
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，
∵CN⊥AE，
∴∠COE=90°，
∴∠CEA+∠1=90°，∠CEA+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△CAE和△BCF中

AC=BC ∠1=∠2 AE=CF

∴△CAE≌△BAF，
∴∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF，
∵∠CBA=45°，
∴∠FBN=45°=∠EBN，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=BF，
在△EBN和△FBN中

BE=BF ∠EBN=∠FBN BN=BN

∴△EBN≌△FBN（SAS），
∴NE=NF，
∴AE=CN+EN．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：无论是截长还是补短，构造出全等三角形是解题的关键．