Question

5．如图1，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，-1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H
（1）求线段DE的长；
（2）设d=PQ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+$\frac{1}{2}$EK的值最小，求出点K的坐标和PK+$\frac{1}{2}$EK的最小值；
（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A坐标，求出直线AD的解析式，利用方程组求出点E坐标，利用两点间距离公式即可解决问题．
（2）构建二次函数，求出d最大时点P坐标，作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．只要证明PM就是PK+$\frac{1}{2}$EK的最小值即可解决问题．
（3）分四种情形①如图2中，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．设FN=x，则PE=EN=2x，EF=$\sqrt{3}$x，列出方程求解即可．②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（$\sqrt{3}$，0）．③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（-3$\sqrt{3}$，0）．④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0，得-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=0，解得x=-3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（-3$\sqrt{3}$，0），
∵D（0，-1），
设直线AD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4\sqrt{3}}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（-4$\sqrt{3}$，-5），
∴DE=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=8．

（2）如图1中，设P（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3）则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-1）．

∵tan∠OAD=$\frac{DO}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAD=30°，
∵PG⊥AE，
∴∠AGH=90°，
∴∠AHG=∠PHF=60°，
∴PH=$\frac{PF}{cos60°}$，
∴d=PQ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$PH=-$\frac{1}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+4-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3）=-$\frac{1}{6}$（m+2$\sqrt{3}$）²+$\frac{9}{2}$，
∵-$\frac{1}{6}$＜0，
∴m=-2$\sqrt{3}$时，d的值最大，P（-2$\sqrt{3}$，3），
作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．
∵∠AEM=∠OAD=30°，
∴KN=$\frac{1}{2}$EK，QM=$\frac{1}{2}$EQ，
∴PK+$\frac{1}{2}$EK=PK+KN≤PM，
∴当K与Q重合时，PK+$\frac{1}{2}$EK的值最小，
此时K（-2$\sqrt{3}$，-3），最小值为8．

（3）①如图2中，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．

∵PF=3，AF=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠AFP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，
∵PF=FQ，AF⊥PQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等边三角形，
当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，
∴∠NEF=30°，设FN=x，则PE=EN=2x，EF=$\sqrt{3}$x，
∵PF=3，
∴2x+$\sqrt{3}$x=3，
∴x=6-3$\sqrt{3}$，
∴OF=2$\sqrt{3}$-6+3$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$-6，
∴N（6-5$\sqrt{3}$，0）．

②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（$\sqrt{3}$，0）．


③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（-3$\sqrt{3}$，0）．


④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．

在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，
∴PE=NE=2PF=6，EF=$\sqrt{3}$PF=3$\sqrt{3}$，
∴ON=6+5$\sqrt{3}$，
∴N（-6-5$\sqrt{3}$，0）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（6-5$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（-3$\sqrt{3}$，0）或（-6-5$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会分类讨论，注意不能漏解，题目比较难，属于中考压轴题．