Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣ ，）

【解析】

（1）将A（-3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；

（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+3），E点的坐标为（x，x+3），那么PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-（x+）2+，根据二次函数的性质可知当x=-时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-代入-x2-2x+3，进而得到P点的坐标．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°．

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PE越大，△PDE的周长越大．

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，解得，

即直线AB的解析式为y=x+3．

设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），E点的坐标为（x，x+3），

则PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

所以当x=﹣时，PE最大，△PDE的周长也最大．

当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，

即点P坐标为（﹣，）时，△PDE的周长最大．