Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BDDF，连接CF、BE．

（1）求证：DBDE；

（2）求证：直线CF为⊙O的切线；

（3）若CF4，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）

【解析】分析：（1）欲证明DB=DE.，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明CF是⊙O的切线.，只要证明BC⊥CF即可；

根据S阴影部分S扇形S△OBD计算即可.

详解：(1)证明：∵E是△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE.

(2)连接CD.

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴BD=CD，

又∵BD=DF，

∴CD=DB=DF，

∴

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线.

（3）连接OD.

∵O、D是BC、BF的中点，CF4， ∴OD2.

∵CF是⊙O的切线，

∴

∴△BOD为等腰直角三角形.

∴S阴影部分S扇形S△OBD .