【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①△DFP~△BPH;②;③PD2=PHCD;④
,其中正确的是______(写出所有正确结论的序号).
【答案】①②③
【解析】
依据∠FDP=∠PBD,∠DFP=∠BPC=60°,即可得到△DFP∽△BPH;依据△DFP∽△BPH,可得,再根据BP=CP=CD,即可得到
;判定△DPH∽△CPD,可得
,即PD2=PHCP,再根据CP=CD,即可得出PD2=PHCD;根据三角形面积计算公式,结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积,即可得出
.
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD,
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,故①正确;
∵∠DCF=90°﹣60°=30°,
∴tan∠DCF=,
∵△DFP∽△BPH,
∴,
∵BP=CP=CD,
∴,故②正确;
∵PC=DC,∠DCP=30°,
∴∠CDP=75°,
又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°,
∴∠DHP=∠CDP,而∠DPH=∠CPD,
∴△DPH∽△CPD,
∴,即PD2=PHCP,
又∵CP=CD,
∴PD2=PHCD,故③正确;
如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,
设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,则正方形ABCD的面积为16,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴PN=PBsin60°=4×=2
,PM=PCsin30°=2,
∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD
=×4×2
+
×2×4﹣
×4×4
=4+4﹣8
=4﹣4,
∴,故④错,
故答案为:①②③.
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【题目】“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩,小丽乘私家车从上海出发30分钟后,小明乘坐火车从上海出发,先到苏州北站,然后再乘出租车去游乐园(换乘时间忽略不计),两人恰好同时到达苏州乐园,他们离上海的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示,请结合图象信息解决下面问题:
(1)本次火车的平均速度_________千米/小时?
(2)当小明到达苏州北站时,小丽离苏州乐园的距离还有多少千米?
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【题目】为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送,两车各运12趟可完成,需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾,乙车所运趟数是甲车的2倍,且乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
(2)若单独租用一台车,租用哪台车合算?
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【题目】如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 16
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【题目】如图,已知点A,B,C在半径为4的⊙O上,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D.
(Ⅰ)若∠ABC=29°,求∠D的大小;
(Ⅱ)若∠D=30°,∠BAO=15°,作CE⊥AB于点E,求:
①BE的长;
②四边形ABCD的面积.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BDDF,连接CF、BE.
(1)求证:DBDE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线;
(3)若CF4,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC=45°,过C作AB边上的高CD,H为BC边上的中点,连接DH,CD上有一点F,且AD=DF,连接BF并延长交AC于E,交DH于G.
(1)若AC=5,DH=2,求DF的长.
(2)若AB=CB,求证:BG=AE.
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