Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC=45°，过C作AB边上的高CD，H为BC边上的中点，连接DH，CD上有一点F，且AD=DF，连接BF并延长交AC于E，交DH于G．

（1）若AC=5，DH=2，求DF的长．

（2）若AB=CB，求证：BG=AE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）只要证明△ADC≌△FDB（SAS），即可推出BF=AC=5，再利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图，连接CG，AG．想办法证明GA=GB=GC，△AEG是等腰直角三角形即可解决问题.

（1）∵CD⊥AB，

∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵∠ABC=45°，

∴DC=DB，

∵AD=DF，

∴△ADC≌△FDB（SAS），

∴BF=AC=5，

∵CH=HB，

∴BC=2DH=4，

∴BD=DC=2，

在Rt△DFB中，DF===．

（2）如图，连接CG，AG．

∵△ADC≌△FDB，

∴∠ACD=∠FBD，

∵∠CFE=∠BFD，

∴∠CEF=∠FDB=90°，

∴∠CEF=90°，

∴BE⊥AC，

∵BA=BC，

∴AE=EC，

∴GC=GA，

∵GH⊥BC，HC=HB，

∴GC=GB，

∴GB=AG，

∵∠ABG=∠CBG=22.5°，

∴∠GCB=∠GBC=22.5°，∠GAB=∠GBA=22.5°，

∴∠CGE=45°，∠AEG=45°，

∴△AEG是等腰直角三角形，

∴AG=BG=AE．