【题目】建立模型:
如图1,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=BA,直线ED经过点B,过A作AD⊥ED于D,过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC.这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用:
(1)如图2,点A(0,4),点B(3,0),△ABC是等腰直角三角形.
①若∠ABC=90°,且点C在第一象限,求点C的坐标;
②若AB为直角边,求点C的坐标;
(2)如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F的坐标为(8,6),M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN=n,已知点G在第一象限,且是直线y=2x一6上的一点,若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点G的坐标.
【答案】(1)①(7,3);②(7,3)、(4,7)、(-4,1)、(-1,-3);(2)(4,2)、.
【解析】
(1)①过C作CD垂直于x轴构造“一线三垂直”,再根据全等三角形的性质求解即可;②点C有四处,分别作出图形,根据“一线三垂直”或对称求解即可;(2)当点G为直角顶点时,分点G在矩形MFNO的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可.
(1)①如图,过C作CD垂直于x轴,
根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC,∴AO=BD,OB=CD,
∵点A(0,4),点B(3,0),∴AO=4,OB=3 ,
∴OD=3+4=7,
∴点C的坐标为(7,3);
②如图,若AB为直角边,点C的位置可有4处,
a、若点C在①的位置处,则点C的坐标为(7,3);
b、若点C在的位置处,同理可得,则点的坐标为(4,7);
c、若点C在的位置处,则、关于点A对称,
∵点A(0,4),点(4,7),∴点的坐标为(-4,1);
d、若点C在的位置处,则、C关于点B对称,
∵点B(3,0),点C(7,3),∴点的坐标为(-1,-3);
综上,点C的坐标为(7,3)、(4,7)、(-4,1)、(-1,-3);
(2)当点G位于直线y=2x-6上时,分两种情况:
①当点G在矩形MFNO的内部时,如图,过G作x轴的平行线AB,交y轴于A,交直线NF于点B,设G(x,2x-6);
则OA=2x-6,AM=6-(2x-6)=12-2x,BG=AB-AG=8-x;
则△MAG≌△GBP,得AM =BG,
即:12-2x=8-x,解得x=4,
∴G(4,2);
当点G在矩形MFNO的外部时,如图,过G作x轴的平行线AB,交y轴于A,交直线NF的延长线于点B,设G(x,2x-6);
则OA=2x-6,AM=(2x-6)-6=2x-12,BG=AB-AG=8-x;
则△MAG≌△GBP,得AM =BG,
即:2x-12=8-x,解得,
∴G ;
综上,G点的坐标为(4,2)、.
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【题目】如图, △ABC是等边三角形,D是BC延长线上任意一点,以AD为一边向右侧作等边△ADE,连接CE.
1.求证:△CAE≌△BAD;
2.判断直线AB与EC的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 16
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点(2,3),对称轴为直线x =1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(, ),B(, ),其中, ,与y轴交于点C,求BCAC的值;
(3)将抛物线向上或向下平移,使新抛物线的顶点落在x轴上,原抛物线上一点P平移后对应点为点Q,如果OP=OQ,直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BDDF,连接CF、BE.
(1)求证:DBDE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线;
(3)若CF4,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3,),点C的坐标为(1,0),且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,点E是正方形ABCD外一点,连接AE、BE和DE,过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=3.下列结论:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE的距离为;④S正方形ABCD=8+.则正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】抛物线经过点A(,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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