Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8+．则正确结论的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；

②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；

③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离小于；则③错误；

④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°．

∴∠DAP+∠BAP＝90°．

又∠EAP+∠BAP＝90°，

∴∠EAP＝∠DAP．

又AE＝AP，

∴△APD≌△AEB（SAS）．

所以①正确；

∵AE＝AP，∠EAP＝90°，

∴∠APE＝∠AEP＝45°，

∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，

即EB⊥ED，②正确；

在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，

在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．

∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，

所以③错误；

在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，

如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．

在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．

所以BH＝．

在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，

即AB2＝（）2+（）2＝8+，

所以S正方形ABCD＝8+．

所以④正确．

所以只有①和②、④的结论正确．

故选：C．