Question

【题目】如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．
（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，

∴CE=CF，

根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，

在△AMC和△BNC中，

，

∴△AMC≌△BNC，

∴AM=BN

（2）解：∵MA∥CN，

∴∠ACN=∠CAM，

∵∠ACN+∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠AMC=90°，

∴cosα= ．

【解析】（1）由CA=CB，E，F分别是CA，CB边的三等分点，得CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC即可；（2）当MA∥CN时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα= = ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．