如图.矩形ABCD中.点E.F分别从A.D两点同时出发.以相同的速度作直线运动.点E在线段AB上运动.点F沿射线CD运动.连结EF.AF.AC.EF分别交AD和AC 于点O.H．(1)求证:EO=OF,(2)当点E运动到什么位置时.EF=AC,在备用图1中画出图形并说明理由,(3)当点E运动到什么位置时.∠FAD=∠CAD,在备用图2中画出图形并说明理由.此时设四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，矩形ABCD中，点E、F分别从A、D两点同时出发，以相同的速度作直线运动.点E在线段AB上运动，点F沿射线CD运动，连结EF、AF、AC，EF分别交AD和AC 于点O、H．
（1）求证：EO=OF；
（2）当点E运动到什么位置时，EF=AC,在备用图1中画出图形并说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，∠FAD=∠CAD,在备用图2中画出图形并说明理由，此时设四边形CDOH的面积为S

，四边形ABCF的面积为S

，请直接写出S

：S

的值．

（1）证明见解析；
（2）点E在AB的中点．理由见解析；
（3）点E与点B重合，S₁：S₂=

．

试题分析：（1）由矩形的性质就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根据AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出结论；
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性质就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出结论；
（3）如图3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出结论．
试题解析：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，

，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；
（2）点E在AB的中点．
理由：如图2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=

FG，
在Rt△ADC和Rt△EGF中，

，
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=

DC，
∴AE=

AB，
∴点E是AB的中点；
（3）点E与点B重合
理由：在△ADF和△ADC中

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴点E与点B重合．
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴

，
∴S_△_AOH：S_△_CBH=1：4，S_△_OH：S_△_ABH=1：2．
设S_△_AOH=a，则S_△_ABH=2a，S_△_CBH=4a，
∴S_△_ABC=6a，S_△_ADC=6a，
∴S四边形ABCF=18a，S四边形CDOH=5a，
∴S四边形CDOH：S四边形ABCF=

，
即S₁：S₂=

．

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的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，

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如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。
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（2）在(1)的前提下△ABC满足什么条件,四边形AECF是正方形？(直接写出答案,无需证明)。

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如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，

，

．
（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求出点E的坐标．

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对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.
（1）当r=

时，
①在P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（

，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；
②若点P在直线

上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．