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    如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，△ABC按一定速度沿BC向右平移，平移后的三角形记为△DEF，平移距离不超过6（如图1），每到一个位置，都将△DEF绕E旋转，使DE始终经过点A，EF与AC交于点M（如图2）．

    （1）求证：△ABE∽△ECM；
    （2）若△AEM为等腰三角形，求△ABC平移的距离；
    （3）在平移和旋转的过程中，当线段AM最短时，求△AEM的面积．
    考点：相似形综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，根据平移和旋转的性质可得∠B=∠DEF，从而得到∠BAE=∠CEM，再根据两组角对应相等两三角形相似证明即可；
    （2）分①AE=ME时，利用“角角边”证明△ABE和△ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB，然后求出BE，②AM=ME时，根据等边对等角可得∠AEM=∠EAM，然后求出△ABC和△MAE相似，根据相似三角形对应边成比例求出
    ME
    AE
    ，再根据△ABE和△ECM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE的长度，然后根据BC=6求出BE的长，③AE=AM时，求出点M、C重合，没有开始平移；
    （3）根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，根据等腰三角形三线合一的性质求出EC=
    1
    2
    BC，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据△AME和△AEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AM、EM，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
    解答：（1）证明：∵AB=AC，
    ∴∠B=∠C，
    由三角形的外角性质，∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
    ∵△ABC平移后的三角形记为△DEF，
    ∴∠B=∠DEF，
    ∴∠BAE=∠CEM，
    ∴△ABE∽△ECM；

    （2）解：△AEM为等腰三角形，分三种情况讨论：
    ①如图1，AE=ME时，
    在△ABE和△ECM中，
    ∠B=∠DEF
    ∠B=∠C
    AE=AM
    ，
    ∴△ABE≌△ECM（AAS），
    ∴EC=AB=5，
    ∴平移距离BE=BC-EC=6-5=1；

    ②如图2，AM=ME时，则∠AEM=∠EAM，
    ∵∠C=∠B=∠AEM，
    ∴∠B=∠AEM=∠C=∠EAM，
    ∴△ABC∽△MAE，
    ∴
    ME
    AB
    =
    AE
    BC
    ，
    ∴
    ME
    AE
    =
    AB
    BC
    =
    5
    6
    ，
    ∵△ABE∽△ECM，
    ∴
    ME
    AE
    =
    CE
    AB
    ，
    即
    5
    6
    =
    CE
    5
    ，
    解得CE=
    25
    6
    ，
    ∴平移距离BE=BC-CE=6-
    25
    6
    =
    11
    6
    ；
    ③AE=AM时，则∠AEM=∠AME，
    ∵∠AEM=∠B=∠C，
    ∴∠AME=∠C，
    ∴点M、C重合，没有开始平移；
    综上所述，△AEM为等腰三角形，△ABC平移的距离为1或
    11
    6
    ；

    （3）解：根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，
    ∵AB=AC=5，BC=6，
    ∴CE=
    1
    2
    BC=
    1
    2
    ×6=3，
    AE=
    		AC2-CE2
    =
    		52-32
    =4，
    ∵∠EAM=∠CAE，
    ∠AME=∠AEC=90°，
    ∴△AME∽△AEC，
    ∴
    AM
    AE
    =
    EM
    CE
    =
    AE
    AC
    ，
    即
    AM
    4
    =
    EM
    3
    =
    4
    5
    ，
    解得AM=
    16
    5
    ，EM=
    12
    5
    ，
    ∴△AEM的面积=
    1
    2
    AM•EM=
    1
    2
    ×
    16
    5
    ×
    12
    5
    =
    96
    25
    ．
    点评：本题是相似形综合题，主要利用了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰三角形两腰相等的性质，相似三角形的判定与性质，（2）难点在于要分情况讨论，（3）根据垂线段最短判断出AM最短时的情况是解题的关键．
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    频数记录
     
     
     
     
    频数
     
     
     
     
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