Question

已知 a，b，c 为^△ABC 的三边，且满足 a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，试判定^△ABC 的形状．

Answer 1

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】证明题．

【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断^△ABC  的形状．

【解答】解：^∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，

^∴a⁴﹣b⁴﹣a²c²+b²c²=0，^∴（a⁴﹣b⁴）﹣（a²c²﹣b²c²）=0，

^∴（a²+b²）（a²﹣b²）﹣c²（a²﹣b²）=0，

^∴（a²+b²﹣c²）（a²﹣b²）=0

得：a²+b²=c² 或 a=b，或者 a²+b²=c² 且 a=b，

即^△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识．