Question

如图，⊙O的两条直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E，求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，求出∠MOB、∠MOC的度数，即可解决问题．

解答：解：如图，连接OM；
∵弦MN垂直平分OB，
∴MB=MO，OE=

1

2

OM，
∴∠OME=30°；而BO=MO，
∴△MOB是等边三角形，∠MOB=60°；
∵⊙O内接正六边形的中心角=

1

6

×360°=60°，
∴MB为⊙O内接正六边形的边；
∵MN⊥AB，CD⊥AB，
∴MN∥CD，∠COM=∠OME=30°，
∵⊙O内接正十二边形的中心角=

1

12

×360°=30°，
∴CM为⊙O内接正十二边形的边．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的关系及其应用问题；解题的关键是深入分析、大胆猜想、合情推理、科学论证．