Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E是AB边上一点．直线BF⊥CE于点F，交CD于点G（如图），求证：
（1）∠CGB=∠AEC；
（2）AE=CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠CBG=∠ACE，根据三角形内角和为180°的性质可以求得∠CGB=∠AEC；
（2）根据（1）中结论易证△CGB≌△AEC，即可求得AE=CG．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠BCG=45°，
∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∵∠AEC=180°-∠A-∠ACE，∠CGB=180°-∠CBG-∠BCG，
∴∠AEC=∠CGB；
（2）在△BCG和△CAE中，

∠CBG=∠ACE BC=AC ∠BCG=∠A=45°

，
∴△BCG≌△CAE（ASA），
∴AE=CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BCG≌△CAE是解题的关键．