Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²+1=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=17，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据根的判别式确定k的取值范围，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，接着利用完全平方公式得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，则（2k-1）²-2（k²+1）=17，然后解关于k的一元二次方程，最后根据k的范围确定k的值．

解答：解：根据题意得△=（2k-1）²-4（k²+1）≥0，解得k≤-

3

4

，
∵x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²+1，
而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴（2k-1）²-2（k²+1）=17，
整理得k²-2k-9=0，解得k₁=1+

10

，k₂=1-

10

，
而k≤-

3

4

，
∴k=1-

10

．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．