Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____．

Answer 1

【答案】4﹣．

【解析】

设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．

解：如图，设E（m，n），

过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，

∴∠CME＝∠END＝90°，

∴∠MCE+∠MEC＝90°，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝DE，∠CED＝90°，

∴∠NED+∠MEC＝90°，

∴∠MCE＝∠NED，

∴△CME≌△END（AAS），

∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，

∴D（m+n，n+2﹣m），

∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，

连接AD，则AD＝2，

∴＝2，

∴＝，

即，

∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），

∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

∵C（2，0），

∴OC＝2，

∴BC＝2，

过点O作OH⊥BC于H，

∴OH＝＝，

设点E到BC的距离为h，

∴S△BCE＝BCh＝×h＝h，

∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2，

∴S△BCE最小＝（）＝4﹣，

故答案为：4﹣．