Question

13．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：AF-BF=EF；
（2）若AG=$\frac{25}{4}$，EF=1，求四边形DEGC的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠BAF=∠ADE，则可根据”AAS“判定△ABF≌△DAE，得到BF=AE，所以AF-BF=AF-AE=EF；
（2）设AE=BF=a，则AF=a+1，由（1）得△ABF≌△DAE，所以DE=AF=a+1，在Rt△ADE中利用勾股定理得到AD²=a²+（a+1）²，再证明Rt△ABF∽Rt△AGB，利用相似比得AB²=AF•AG=（a+1）×$\frac{25}{4}$，所以a²+（a+1）²=（a+1）×$\frac{25}{4}$，整理得8a²-17a-21=0，解得a₁=3，a₂=-$\frac{7}{8}$（舍去），即可得到AB=5，然后利用四边形DEGC的面积=S_{正方形ABCD}-S_△ABG-S_△AED进行计算．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵E⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
而∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DEA}\\{∠BAF=∠DAE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，
∴AF-BF=AF-AE=EF；
（2）解：设AE=BF=a，则AF=a+1，
∵△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=a+1，
在Rt△ADE中，AD²=a²+（a+1）²，
∵∠BAF=∠GAB，
∴Rt△ABF∽Rt△AGB，
∴AB：AG=AF：AB，
∴AB²=AF•AG=（a+1）×$\frac{25}{4}$，
而AB=AD，
∴a²+（a+1）²=（a+1）×$\frac{25}{4}$，
整理得8a²-17a-21=0，解得a₁=3，a₂=-$\frac{7}{8}$（舍去），
∴AB=$\sqrt{（3+1）×\frac{25}{4}}$=5，
∴四边形DEGC的面积=S_{正方形ABCD}-S_△ABG-S_△AED
=5×5-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{25}{4}$-$\frac{1}{2}$×3×4
=$\frac{77}{8}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质和三角形全等的判定与性质．