Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4，若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根，且x12+x22=10.

①求A、B两点的坐标；

②求抛物线的关系式及点C的坐标；

③在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】①A(-1，0)、B(3,0)；②y=x2-2x-3,C(0，-3)；③存在，P1(1+,9),P2(1-,9)

【解析】试题分析： 根据韦达定理可得出两点横坐标的和与积，联立 可求出的值，进而可求出的坐标．
根据的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点的坐标，根据得出的 三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
可先求出四边形的面积（由于四边形不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据的面求出点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标．

试题解析： ∵若是方程的两个实数根，

由题意得：

∴

化简,得

解得

且当时, ，符合题意.

∴原方程可写成：

已知：

∴抛物线的对称轴为

因此抛物线的顶点坐标为

设抛物线的解析式为 则有：

= + +

假设存在使得

即：

当时, 解得

当时, 此方程无实数根.

∴存在符合条件的点,且坐标为