Question

16．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．

Answer 1

分析 根据矩形性质得PQ∥BC，PQ=MN，则可证明△APQ∽△ABC，根据相似的性质得出对应边成比例$\frac{PQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，分两种情况：①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PQ=2k；②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k；分别由比例式得出方程，解方程即可．

解答 解：如图所示
∵四边形PQMN是矩形，
∴BC∥PQ，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，
由于矩形长与宽的比为3：2，
∴分两种情况：
①若PQ为长，PN为宽，
设PQ=3k，PN=2k，
则$\frac{3k}{12}=\frac{8-2k}{8}$，
解得：k=2，
∴PQ=6cm，PN=4cm；
②PN为6，PQ为宽，
设PN=3k，PQ=2k，
则$\frac{2k}{12}=\frac{8-3k}{8}$，
解得：k=$\frac{24}{13}$，
∴PN=$\frac{72}{13}$cm，PQ=$\frac{48}{13}$cm；
综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为$\frac{72}{13}$cm，宽为$\frac{48}{13}$cm．

点评 本题考查了相似三角形的应用：在实际问题中抽象出几何图形，通过证明三角形相似，利用相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．